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神人无功
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[原创]相对论时空
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神人无功 于 2016/2/29 15:30:03 发布在 凯迪社区 > 猫眼看人
    

相对论时空



    

神人无功



   (题记:最近宣布探测引力波成功,掀起了大众了解相对论的热潮,故将多年前写的一篇文章经修正和修改后发表于此,以就教于大家)

   一 伽利略变换

    牛顿世界,时间和空间是一个独立的背景和舞台,不依赖于物质和运动独立存在,并且为物质和运动提供量度。牛顿说过:“我从不做假设”,但严格地说,应该加上一句:“除了绝对空间和绝对时间”。这两个原则上不可观察概念,实际上是没有科学意义的,但却有形而上学的价值,即人类的一个共同的信念——世界是统一的。有了这个假设,面对不同的坐标系,我们就可以不假思索地认为,所有的物质的空间延展和运动的时间绵延都可以用同一把尺子和同一个时钟来量度,如此,所有坐标系物理规律都是相同的“等效性原理”才能成立,也就是说,我们才能在不同的坐标系之间建立对称性,用统一的物理规律来规范纷纭复杂的物质和运动。

    讲到对称性就涉及到变换规则,因为对称性是“变换中的不变性”。通俗的说,对称性就是说两个东西是一样的,但不是原来就一样,而是经过变换才一样。

    比如你坐在长途大巴上,你心仪的姑娘坐在前排的位置,你坐在她身后2米处的位置,汽车行驶中,你扔了一包瓜子给她,1秒钟后到达她的手里。这个事件就你而言是瓜子在汽车前进的方向x上位移了2米。

    刚好这个事情被炉火中烧的我在路边看到了,但位移不是2米,还要加上一个汽车的秒速比如200米,就是202米。这又是一个观察事件。

    同一个事实(扔瓜子)产生了两个观察事件,2米和202米能一样吗?能,只要有一个变换规则。现在我是一个静态的坐标系(简称“静系”),三维空间坐标是x、y、z,一维时间坐标是 t;观测事件是瓜子在1秒中内位移了202米。你是一个动态的坐标系(简称“动系”),空间和时间坐标分别是x""""、y"""" 、z"""" 和t"""";观测事件是瓜子在1秒种内位移了2米 。在静系和动系间建立对称性的就是伽利略变换——

    x"""" = x − vt

    y"""" = y

    z"""" = z

    t"""" = t

    x""""是动系上观测到的位移,即2米,x是静态上观测到的位移,即202米,v是动系{汽车}的运行速度,即200米/秒,t是运行时间,即1秒。把这些数据代入伽利略变换式中,则有:

    2米=202米 − 200米×1秒

    y"""" = y

    z"""" = z

    1秒 =1秒

    (y是高方向上的空间量度,z是宽方向的空间量度,这二者是不变的,所以可以不搭理它)

    有了这个变换,我们才能说物理规律在所有坐标系中都是相同的,在汽车上的你服从牛顿定律,在路边的我也服从牛顿定律。

    牛顿绝对时空的观念就蕴涵在这个变换中,尺子是不变的,汽车上的2米,无论汽车开不开动都是2米,同样,时钟也是不变的,我在静系的钟走了1秒,你在动系上的钟同样也走了1秒。在牛顿体系中这是不证自明的真理,牛顿力学二百年没有出现过反例。

    二、以太风观测实验

    然而反例终归出现了,这就是1887年的迈克尔逊—莫雷的“以太风观测实验”。恰巧得很,这一年正好是牛顿划时代的著作《原理》出版200周年,而这个实验后来被称为牛顿天空的第一朵“乌云”。

    原来随着1860年代麦克斯韦电磁理论的成功和电磁波的实验证实,古老的“以太”概念得到了科学共同体的公认。因为电磁波被认为是可以与水波、声波等机械波比拟的,而机械波总是有某种介质传播,比如水波是水分子,声波是空气分子,那么电磁波的介质也就是传说中的以太喽。麦克斯韦的另一项推论是,电磁波(包括可见光)在静止以太中是以固定的速度运行的,波长与频率的乘积恒等于光速。以太概念使牛顿的绝对时空有了科学意义,只要能观测到以太,也就间接的证实了绝对时空。

    1884年,开尔文勋爵访问美国时在一次报告中说到,宇宙充满着以太,那么,地球以每秒30公里的速度绕太阳公转,就会迎面扑来一股以太风,问题在于,怎样观测到它?听者有意呐,这个说话被一位在场的美国实验物理学家迈克尔逊记在了心上。

    一个直观的感觉,光源如果逆以太风而行,光线就如逆水行舟会慢下来。具体点,假如一束光发射的方向与地球绕日轨道一致,根据伽利略变换(x"""" = x − vt ),光速就是(30万公里-30公里)/秒,即30(1-10^-4)万公里/秒。因此,只要测出光线在地球运动的方向上减速了,我们就能证明以太的存在。问题是:怎样测出这个减慢了的光速?

    迈克尔逊和莫雷就做出了“迈克尔逊干涉仪”(见下图)



    我们先假设地球(也即光源)是静止的,那会发生什么情形呢?一束激光(LASER,当然当时还没有激光)射向半透镜G后分成两束,一束直射通过光臂Ⅰ奔反射镜M1,另一束折射通过光臂Ⅱ奔反射镜M2,反射回来的光到半透镜G处又分别折射和直射兵合一处通过光路Ⅲ照射到观测屏(Screen)。假设光臂Ⅰ和光臂Ⅱ是严格等长的,都是30万公里,两束光从半透镜出发到反射回半透镜都分别走了60万公里,耗时都是2秒。那么,通过光路Ⅲ的两束光是严格同步的,波峰对着波峰,波谷对着波谷,严丝合逢。根据同相倍加,异相抵消的干涉原理,就会在观测屏上造成明暗相间的干涉条纹(想一想双缝实验)。

    现在让地球(光源)动起来。假设M1是地球运动的方向,通过光臂Ⅰ的光首先要逆“风”而行,速度会慢一点,为30(1-10-4)万公里/秒。反射光则顺“风”而行,速度会快一点,为30(1+10-4)万公里/秒。你也许会说,这一慢一快且不是互相抵消,用时不还是2秒吗?但你仔细按时间等于路程除以速度的公式算一算,是抵消不掉的,用时会比静态多那么一点点。

    实际上通过光臂Ⅱ的光用时也会多一点,正如在渡河若要走直线,你必须向上游的方向偏一点才有可能。不过经计算,这个误差会比光臂Ⅰ小一个数量级。光臂Ⅰ是万分之几的级别,光臂Ⅱ则是十万分之几的级别。

    总之回到G时,光臂Ⅰ的光总会比光臂Ⅱ的慢一步。这时光路Ⅲ上的两束光就不严格同步了,波峰与波峰之间,波谷与波谷之间,就会错开那么一点点。于是干涉条纹就会发生变化,比如明纹亮度减弱,条纹发生移动,等等。

    实际的迈克尔逊干涉仪要复杂一点,我的说明只是为了更直观和形象说明原理。

    迈—莫实验就是按这个原理设计的。可是实验结果出乎所有人的预料——没有期待的干涉条纹变化。就是说不管光源是静止或运动,光线的速度恒等于30万公里。全世界的科学家都在重复这个实验,一直做到1930年代,结果都是相同的。这个科学史称“以太风观测实验零结果”。

    伽利略变换失效?

   三、洛伦兹变换

    当一个旧科学范式没有被摧毁前,实验是不能证伪理论的。全世界的科学家都认同绝对时空概念,都相信以太的存在。于是就有了对这个零结果的实验的各种各样的解释,其中最著名的是洛伦兹变换——

    x′=γ(x-vt)

    y′=y

    z′=z,

    t′=γ(t-vx/c^2),

    式中c为真空中的光速;γ=√1-v^2/c^2。(对不起,只能用这个水货的开方号对付)

    看出来没有?当运动速度v远小于光速c时,γ≈1,vx/c^2≈0,则洛伦兹变换就回复到伽利略变换——伽利略得救了。

    那“以太风观测实验零结果”是怎么回事呢?

    洛伦兹变换告诉人们在运动的方向上会有一个因子γ的收缩,这就把两个光臂光程的差异给抵消掉了,所以看上去好像地球没有运动似的。

    那么是什么“收缩”了呢?科学家首先想到的是光臂的物理材料收缩。很简单,在迎面吹来的以太风的“风压”下,光臂被压扁了。验证这个假设也同样简单。在同样的压力下,刚度不同的材料收缩率应当是不同的。然而任你用什么材料做成光臂,结果都是同样的。夸张一点说,棉花和金刚石都同样收缩γ!

    现在科学共同体面临着两难选择——要么承认地球是不动的,回到哥白尼以前的黑暗时代;要么否认以太乃至绝对时空的存在,那么二百年来科学家们安身立命的牛顿体系就要从基础上摧毁!

   四、狭义相对论

    爱因斯坦选择了第二条——摧毁牛顿。

  



    上图是一辆爱因斯坦汽车,以每秒3万公里的速度前进。假设AP和PB的长度都是30万公里。假如汽车中部P处一盏灯点亮,汽车的一个观察者会看到,1秒钟后同时到达A和B。这一点爱因斯坦与牛顿没有分歧。

    那么在路面的一个观测者会看到什么呢?

    牛顿说同样会看到1秒种后同时到达。因为PB的光程和光秒速同样是33万公里(30万+3万),PA的光程和光秒速同样是27万公里(30万-3万)。

    爱因斯坦说,光速是不变的,所以光会在27/30秒到达A,而33/30秒后到达B。也就是说,在一个静止的观察看来,前者比后者早到6/30秒。

    这叫“同时性的相对性”——同时或不同时,是由观测系决定的。

    光速不变,是狭义相对论的一个公设,另一个叫相对性原理,说的是,在所有相对移动的惯性系上,物理规律都是相同的。

    可是车上观察者观察到的同时性事件,站台上的观察者观察到的却是不同时事件;换言之,前者观察到的静体电动力学时间t""""与后者观察到的动体电动力学时间t,不具有t"""" = t的对称性——相对性原理岂不是被违反了吗?

    伽利略变换固然建立不起这个时间的对称性,但经过洛伦兹变换,这个对称性就可以重新建立起来。因此我们要弄清洛伦兹变换的真实的物理意义(在以太风观测中,收缩的不是光臂的物理材料,那是什么?



    上面是一辆秒速29万公里的爱因斯坦火车,车厢高75万公里。在车厢底向正上方发射一束光,然后补车顶的一面反射镜反射回光源处,乘客观察到的,这一上一下的光程是150万公里,耗时是5秒。

    站台观察者观测到的也是光线从光源到车顶反射镜,然后又从反射镜回到光源处,但列车是运动的,所以光线的路径是首先向前上方运行,然后折向前下方,于是光程就远远大于150万公里而达到600万公里,光行时间20秒!

    结论:动系时间变慢。

    我们还可以用时间来算出空间距离。比如在站台20秒的时间内火车走过的距离是:20×29=580万公里。但用车上的时间算只走过了5×29=145万公里。

    结论:动系在运动方向上空间缩短。

    动系时间变慢和空间收缩,就是洛伦兹变换的物理意义。迈克尔逊观测中,收缩的不是光臂的物理材料,而是空间距离,这叫“尺缩效应”。当然不仅仅是尺子缩短了,在这个空间中所有的物理材料同样收缩,所以用尺子是量不出光臂的收缩的。相应的是时间变慢,叫“钟慢效应”,时间的间隔被拉长了。尺短时长,恰如一个翘翘板,你高我低,互相补偿,保持着一个时空的恒量,达到完美的对称。

    还有一个更深刻的物理乃至哲学意义是:牛顿的绝对时空是不存在的,时间和空间都必须根据运动速度来取值。于是时间和空间都失去了牛顿体系中的独立性,时空不能对物质和运动独立,时间和空间之间也不是独立的,世界不是一个三维空间和一维时间的结构,而是一个统一的四维时空结构。

    五、广义相对论




  
    上图左是一部爱因斯坦电梯。当一部上升中的电梯的钢缆突然崩断,电梯向地面做自由落体运动,如果爱因斯坦脚下是一个弹簧称,他会发现重量为0——失重了。爱因斯坦可以在地上走路,也可以在墙壁上走,甚至可以在天花板上走。如果电梯里种着一棵牛顿苹果树,当苹果瓜熟蒂落时,苹果会悬空着静止不动,而不会如上图右落向地面。牛顿要是生活在这个空间里,万有引力定律就发明不出来。引力怎么就莫名其妙的消失啦?好奇怪噢!

    而这在地面观察者(看苹果落地的牛顿)看来就一点也不奇怪。电梯、爱因斯坦、弹簧称和苹果,都在万有引力的作用下,严格遵循落体定律做匀加速运动。要知道,落体的速度是与物体的质量大小无关的——无论是几吨重的电梯,还是几十克重的苹果。

    爱因斯坦正是通过这部思想电梯想到了广义相对论。这个理论的基本原理就是:物理规律在所有的参照系——惯性系和非惯性系(或称加速系)——中都是等效的。这叫“等效性原理”。可以看出,广义相对论无非就是把狭义相对论的相对性原理推广到了非惯性系——后者说物理规律在一切惯性系都是等效的,前者说物理规律不仅在惯性系等效,而且在非惯性系也等效。

    让爱因斯坦电梯继续落,这时如果上帝突然把地球拿掉,电梯由于失去了地球引力的作用,速度就不会再增加(当然也不会减小)。电梯现在只有由质量与加速度乘积(Fi=ma)构成的惯性力,在太空中做匀速直线运动,像一艘宇宙飞船一样,失重的状态依然保持。在电梯里的看不见外面爱因斯坦不会知道这个变故,一定认为电梯还在往下掉。这里,万有引力与惯性力等效,加速系(自由下落的电梯)与惯性系(自由飞翔的电梯)等效。

    那么,万有引力是怎样对物体产生作用的?

    还是回到爱因斯坦电梯。在下落的电梯中,爱因斯坦从电梯的一端水平地向另一端发射一束激光,光源是1米高,光着点是多高呢?看那只平常有重量的苹果都会悬空不动,光束运动的方向也不会有任何理由偏转,因此一定是1米高。在爱因斯坦看来,光走了一条水平的直线。

    而地面的牛顿看到的却是另一番情形。尽管光依然是从电梯1米高的光源到电梯1米高的光着点,但因为电梯是加速下落的,光线像追着那一米高的光着点一样,走一条向前下方延伸的抛物线,而且由于加速的原因,抛物线的曲率会越来越大。

    如果电梯停在地面呢?现在变化的是爱因斯坦,他由一个加速系(下落的电梯)的观察者,变成了一个惯性系(地球)的观察者。那么,变化的就没有理由是牛顿,而应当是爱因斯坦。牛顿呢,根据等效性原理,他现在看到的跟先前看到的一定是一样的。那么此时的爱因斯坦看到的,也只能是一条抛物线。

    又如果电梯向上开动。牛顿看到是同样曲率的抛物线。爱因斯坦看到的,则是一条曲率更大的抛物线。因此光线的下降速度,除了在静止时看到的速度,还要叠加一个与电梯上升速度相同的速度。好比说,假如静止时光线可以到达一个0.9米的光着点,在上升的电梯中,由于光线到达时电梯已经上升了0.1米,那么光着点就只能是0.8米。

    三种情形,对于电梯里的爱因斯坦的重力效应分别是什么?光线平直时,爱因斯坦失重;光线正常弯曲时,他感受到正常的重力;光线曲率加大时,他感受到加大的重力。(这些感受都可以用电梯里的一个弹簧称验证)

    光线是什么?光线是几何学里“直线”的物理表征。“直线”是什么?直线就是从一点到另一点之间最短的线段。不过现在我倒是有点迷惑了——上面有两种情形光线可都是曲线呀!但不管怎么说,这一定是最短的路线,或者说是作用量最小的路径。所以,现代物理学用“短程线”或“测地线”的概念代替了“直线”的概念。

    爱因斯坦据此告诉我们:万有引力不是直接对物体起作用,而是对空间(严格地说是对时空)起作用的。万有引力扭曲了空间,空间的曲率与万有引力的大小成正比。空间好比一张钢丝网,没有引力作用时,钢丝网是平直的。一只牛顿苹果待在这张网上会静止不动,如下落的爱因斯坦电梯中的那只一样。当地球放在这张网上,就会把这张网压出一个坑,牛顿苹果就会沿着被压弯的曲面,走短程线滚到坑底。

    更严格地说,压根就没有什么万有引力。引力现象不过是一种质量效应。有质量的物体都会产生一个引力场,质量越大,场量就越大,造成空间弯曲的本领也就越大。

    这种引力场一定是以引力波的形式传播的。最近宣布:已经探测到了引力波。

  




    (20160229)

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    回帖人: | 只看此人 | 不看此人 | 2016/2/29 15:40:23    跟帖回复:
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    。。
    回帖人: | 只看此人 | 不看此人 | 2016/2/29 15:42:06    跟帖回复:
       第 3
    1884年,开尔文勋爵访问美国时在一次报告中说到,宇宙充满着以太,那么,地球以每秒30公里的速度绕太阳公转,就会迎面扑来一股以太风,问题在于,怎样观测到它?
    回帖人: | 只看此人 | 不看此人 | 2016/2/29 16:43:51    跟帖回复:
       第 4
    不知何故,我的电脑打不开修改的页面?
    回帖人: | 只看此人 | 不看此人 | 2016/3/1 10:29:56    跟帖回复:
       第 5
    爱因斯坦电梯
    回帖人: | 只看此人 | 不看此人 | 2016/3/1 10:37:18    跟帖回复:
    6
    通过光臂Ⅰ的光首先要逆“风”而行,速度会慢一点,为30(1-10-4)万公里/秒。反射光则顺“风”而行,速度会快一点,为30(1+10-4)万公里/秒。
    +++++++++++++++++++

    10的负4次方,不是10减4
    回帖人: | 只看此人 | 不看此人 | 2016/3/1 10:41:00    跟帖回复:
    7
    宇宙的4种基本相互作用力,只有引力是最高深莫测的。引力波的探测成功,决不意味认识的完成。
    回帖人: | 只看此人 | 不看此人 | 2016/3/1 10:51:57    跟帖回复:
    8
    爱因斯坦电梯里引力为何消失了呢?

    可以这样理解:万有引力有两种表现形态:一是重力,二是下落力。

    在爱因斯坦电梯里,万有引力全部转化为落体的势能,因此重力为0;至落到地面,又全部表现为重力,使物体重新有了重量。
    回帖人: | 只看此人 | 不看此人 | 2016/3/1 15:47:48    跟帖回复:
    9
    会不会因为光传播需要速度而引起?
    比方一只蝙蝠,它用声音“观察”世界,它的世界里的开普勒效应就是“相对论”。
    回帖人: | 只看此人 | 不看此人 | 2016/3/1 22:45:24   
    10
    楼主校车那个计算错误
    假定地面上人站在A处,1秒后A离人3万公里,B离人63万公里。
    按牛顿,还需3/27秒,人才能看到光到达A点,还需63/27秒超能看到光到达B点。因为光的传播也同样需要时间!
    牛顿也看不到光同时到达。
    爱因斯坦列车
    假定人站在站台光源处,5秒后,光源离开人150万公里,再用150/(30-29)=150秒,人才能看到反射光返回光源处。
    为什么总不考虑光的传播本身就需要时间呢?
    而且这样考虑同样不需要以太、绝对时空的假设。光既然是波粒两象性,就按粒子考虑好了!
    光只需要在产生它的光源所在的参照系中,始终相对发光瞬间的光源相对速度是30万公里/秒即可。
    这样考虑才是经典牛顿力学

    此贴已经被作者于 2016-3-1 23:04:25 编辑过

    回帖人: | 只看此人 | 不看此人 | 2016/3/3 10:36:36    跟帖回复:
    11
    在“爱因斯坦火车”和“爱因斯坦电梯”一类的理想实验的陈述中,一个约定俗成的办法,是忽略了对象到观察者的光程,这样会更简单明白,但这并不会改变事件的真相。实际上,我们任何的现实观测都会有时滞,只不过微小到可以忽略不计。即使是理想实验这种极端情况,也可以在理论上扣除这种观测延时,还原对象本身的客观的时空结构和关系。
    回帖人: | 只看此人 | 不看此人 | 2016/3/3 12:16:46    跟帖回复:
    12
        

    光为什么一定是走“直线”


    文中说,“光线是几何学里‘直线’的物理表征”,光一定会走“最短的路线或作用量最小的路径”。这句话要解释一下。



    如上图,观察鱼缸里的一条鱼,按说光线鱼到眼睛最短的路线应当是直线,但为什么在空气和水的界面上总是要有一个折射,使光线要走一条曲折的道路到达眼睛?

    先搁置这个事例。开车的朋友想一想,一边是畅通的快速环道,一边是拥挤市内道路。有时候明知从某地到某地走市内道路最近,你却会“舍近求远”,走上了快速环道?很简单,这样走用时更短。就好比下面的赛车场地。



    从A点到B点,最短的路径当然是A→C1→B。但这并非一定是最佳路径,因为草地上汽车的时速V2必然比在水泥地上的时速V1低,(AC1/ V2)与(C1 B / V2)之和并非必然最小。所以A→C2→B可能是一个更好的选择,因为尽管路程长了一点,但水泥地上的快速行驶足以弥补这个损失并且还有富裕,(AC2/ V2)+(C2 B / V2)<(AC1/ V2)+(C1 B / V2)。那么赛车手就应当选择这条用时更短的路径。当然也不一定要走极端。A→C3→B这条路线在草地上行驶的踟最短,总路程最长,但未必用时最短。最佳选择,还是要由V2与V1的速度差来决定。原则上,这个速度差越大,越倾向于选择更短的草场地,极端的情况才会选择A→C3→B。反之,速度差越小,越倾向于选择更长的草场地,极端的情况,水泥地与草场地没有速度差,就选择A→C1→B,一条直线。

    光线就是一个聪明的“赛车手”,一定会选择一条用时最短的路线。这是因为,光线在密度越高的介质中速度就会越慢(真空时最快)。在空气中观察,密度越高的介质折射率越大,因为光线会倾向于选择通过高密度介质更短的路线,而不惜在空气中的路线更长。光线的自然倾向,一定是走用时最短的路线。

    所以我们通常说“两点之间直线最短”,表征的不过是光线在同一介质中传播的情形。在纷纭复杂的现实环境中,两点之间最短的路线也可能是曲线。所以我们要用“短程线”或“测地线”的概念来取代“直线”的概念,以更准确的表达“最短路线”或“最小作用量路径”这个含义。

    在广义相对论中,无论是苹果落地,还是地球绕日旅行,都没有神秘的“万有引力”什么事。它们不过都是在时空中走短程线,都是趋向于达到最稳定态必然要走的最小作用量路径。比如,万有引力定律描述的引力与距离的平方成反比的情形,落体定律描述的以时间的平方加速的情形,反映的不过是大质量物体上方时空曲率变化的情形。

    回帖人: | 只看此人 | 不看此人 | 2016/3/3 22:07:53    跟帖回复:
    13
    弯曲空间应该是一种对引力的数学处理方法,比引力方法简便。

    低速运动可以不考虑光程,忽略影响不大,高速运动情况下不考虑光程就会带来非常大的误差。

    如下假设:离观察者C距离30万公里处,A相对C静止,而B以一半光速向C运动。如果C向A和B发光,那么A和B谁先看到C发出的光?
    回帖人: | 只看此人 | 不看此人 | 2016/3/4 16:01:08    跟帖回复:
    14
    我明白你的意思,按牛顿力学,光实际是同时到达AB,但看到的并不同时。而爱因斯坦,是实际不同时,看到也不同时。如果实际状态如牛顿力学,观察者即便看到不同时,他也完全可以还原出同时的事实(扣除对象到观察者的光程)。正如我们先看到闪电,后听到雷声,牛顿力学就可以告诉我们,这两个事件实际上是同时的。当然可以接受你的建议,在叙述时加以说明,这样当然会更严谨。
    回帖人:
    煤黑  
    | 只看此人 | 不看此人 | 2016/3/5 1:08:53    跟帖回复:
    15
    真不好意思,还在您上篇帖子里询问《宇宙的精灵》出版与否。问完一查,出版都老早的事了,网上各大书店全部显示无货,也就是早就全部卖空了。何时再版,期待中。我收藏并且给朋友们推荐的,全部是网页复制自己整理的,包括有意思的跟帖,当然包括了其中的错别字。还是期待印刷的书籍。再次感谢神人先生,带给我们如此丰富的知识、科学的方法,尤其是思想启发。但愿这种科学精神、自由精神能够早日普惠大众,走进国民大众心中,生根发芽,使祖国早日看到黎明,看到希望。还是那句话:再评“四大名著”,我还首选《精灵》,只可惜,俺不是某“戴表"。
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